扩散模型、最优传输存在什么关系？法国数学家4页论文引网友围观

论文地址：https://cvgmt.sns.it/media/doc/paper/5469/counterexample_flow_v3.pdf

在这篇文章的摘要部分，作者表示，Khrulkov 和 Oseledets 在先前研究中（论文：Understanding DDPM Latent Codes Through Optimal Transport）提出了一个猜想，该猜想认为通过积分 Fokker-Planck 方程的 Wasserstein 速度得到的 ODE 流，可以获得一个最优传输映射。

然而，在 Kim 和 Milman 的论文中《A generalization of Caffarelli’s contraction theorem via (reverse) heat flow》，这一结果被认为是错误的，但没有提供证明。Hugo Lavenant、Filippo Santambrogio 的这篇论文正好展示了 Khrulkov 和 Oseledets 所声称的结果不能成立。

但这篇文章过于晦涩难懂，全篇论文看下来几乎都是推导公式且篇幅又长。

为此，法国数学家 Gabriel Peyré 在论文《 Diffusion models and Optimal Transport 》中给出了一个很好的概括，文章重述了 Hugo Lavenant 和 Filippo Santambrogio 关于简洁证明的主要内容，即一般情况下，扩散模型不能定义最优传输映射。

地址：https://github.com/mathematical-tours/mathematical-tours.github.io/blob/971ddb3aab5803c7a4abef122f878292f6a6c25d/book-sources/diffusion-models/note-diffusion-ot.pdf

接下来，我们看看这篇文章讲了什么内容。

生成模型旨在在参考分布 α（通常是各向同性高斯分布）和数据分布 β 之间构建传输映射 T。用 T♯α  表示 α 被 T 向前推进（如果 α 是由 Dirac 质量在 x_i 处构成的，那么 T♯α 是由 Dirac 质量在 T（x_i）处构成的）。

因此，目标是找到 T，使得 T♯α = β 。很明显，对于任何 β，这样的映射总是存在的，但找到 T 的明确构造方法却出奇地困难。

这里有两种标准方法，分别是最优传输和集成扩散过程的逆向积分伴随的平流场。

最优传输

最优传输通过求解 Monge 问题求出 T：

1991 年，Brenier 著名定理表明这个映射是存在的，且是唯一的，并且可以写成一个凸函数 T =∇φ 的梯度。根据质量守恒定律，即 T♯α = β ，等价于说 φ 解决了 Monge-Ampère 方程：

逆向 Flow Map

扩散模型需要考虑 β_0 = β 和 β_∞= α =N (0,Id) 之间的差值 β_t ，求解过程定义如下：

请注意，使用 y 来表示空间变量，因为演化是逆向进行的，即从数据 β 到后一个变量 α，它收敛于 β_∞= α。

将方程写成离散形式：

这表明，如果已经计算出了 β_t，那么这种演化可以根据向量场 v 演化粒子来获得。

映射 S_t 就是 flow map ：

逆向 Flow Map 不是最优传输

人们很自然地想知道逆向 Flow Map 

是否是 (1) 的解。在一维情况下，S_t 定义微分同胚（ diffeomorphism），因此是单调的，

也是单调的。因此，它是凸函数的梯度，根据 Brenier 定理使其最优。如果 β 是高斯分布，直到空间旋转以使协方差对角化，则扩散映射由沿每个轴的单调映射定义，并且也是最优传输。

Lavenant 和 Santambrogio 通过矛盾证明，一般来说，逆向 flow map 并不是最优传输。他们构造了一个接近各向同性高斯 α 的 β，但他们没有证明 β 的猜想是错误的，而是证明存在一些 t ≥ 0，使得从 α 到 β_t 的逆向 Flow Map T_t 不是最优传输。他们实际上表明，对于某些 t_0 > 0，T_t 并不是所有 t ∈ (0, t_0] 的最优传输。

用 S_t 表示从 β_0 = β 到 β_t 的 Flow Map。如果猜想成立，则从 α 到 β_t 的逆向 Flow Map T_t 是所有 t 的最优传输。根据 Flow Map 的构成规则，该 Map 为：

并且

目标是证明：如果 β 选择得当（具体来说，非常接近 α，且特定的二阶和四阶对数密度导数为 0），那么 T_t 是所有 t 的最优传输会导致矛盾。根据 Brenier 定理，T_t 是最优传输意味着它是凸函数的梯度，这相当于：

结合：

对 (7) 对 t 求微分

对流 ODE (4) 对 x 求微分

然后在 t = 0 时评估所获得的方程，Hugo 和 Filippo 通过显式计算表明，这会导致：

利用基本性质：A、B 对称且 AB 对称

则 (8) 意味着：

为了达到矛盾，假设 G (y) 和 H (y) 对于所有 y 都是可交换的。由于

表示为 ψ 凸。Monge-Amp`ere 方程 (2) 意味着：

并且 T 和 S 是逆最优传输映射，因此将

为了使 β 接近 α，请考虑：对于较小的 ε，

在泰勒级数中展开，经过一些计算：

着眼于 y = 0，目标是通过设计 h 来达到矛盾，使得

不能交换。在 0 附近，h 必须至少是 4 次多项式。二维情况下的一个示例是：

和

产生：

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